فعالیت حل معادله درجه دوم ریاضی دهم - بخش ۱
۱. معادله‌ی درجه دوم $x^2 - 2x - 3 = 0$ را که درسا در بخش قبل به آن رسید، در نظر بگیرید. با تجزیه‌ی سمت چپ معادله‌ی بالا، جای خالی را با عدد مناسب پر کنید.
$$(x + 1)(x - \underline{\hspace{1cm}}) = 0$$
ویژگی حاصل‌ضرب صفر:
اگر $A$ و $B$ دو عبارت جبری باشند و $AB = 0$، آن‌گاه حداقل یکی از این دو عبارت صفر است؛ یعنی:
$$AB = 0 \Rightarrow A = 0 \quad \text{یا} \quad B = 0$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 71 ریاضی دهم - بخش ۱
سلام! این فعالیت آغازین روش حل معادلات درجه دوم با استفاده از **تجزیه** و **ویژگی حاصل‌ضرب صفر** است. این روش اغلب سریع‌ترین راه حل است، اگر بتوانید معادله را تجزیه کنید.
### **تکمیل تجزیه**
معادله‌ی ما $x^2 - 2x - 3 = 0$ است. برای تجزیه‌ی چندجمله‌ای درجه دوم $x^2 + bx + c$ به فرم $(x+p)(x+q)$، باید دو عدد ($p$ و $q$) پیدا کنیم که:
1. حاصل‌ضربشان برابر با عدد ثابت $c$ باشد: $p \times q = -3$
2. حاصل‌جمعشان برابر با ضریب $x$ باشد: $p + q = -2$
**گام ۱: پیدا کردن $p$ و $q$**
اعداد صحیح که حاصل‌ضربشان $-3$ است:
* $1$ و $-3$ (حاصل‌جمع: $1 + (-3) = -2$)
* $-1$ و $3$ (حاصل‌جمع: $-1 + 3 = 2$)
جفت مناسب، $p = 1$ و $q = -3$ است.
**گام ۲: نوشتن تجزیه**
$$(x + 1)(x - 3) = 0$$
**پاسخ جای خالی:**
$$(x + 1)(x - \mathbf{3}) = 0$$
فعالیت حل معادله درجه دوم ریاضی دهم - بخش ۲
۲. از ویژگی بالا استفاده کنید و جاهای خالی را با عبارت‌های مناسب پر کنید.
$$x = -1 \quad \text{یا} \quad x - \underline{\hspace{1cm}} = 0 \Rightarrow x = \underline{\hspace{1cm}} \quad \text{یا} \quad x = \underline{\hspace{1cm}}$$
برای اطمینان از صحت جواب‌های حاصل شده، می‌توانیم هر دو جواب به دست آمده را در معادله قرار دهیم و آن‌ها را آزمایش کنیم. یکی از جواب‌ها آزمایش شده است؛ جواب دیگر را آزمایش کنید.
$$\begin{aligned} \text{اگر } x &= -1 \\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \\ (-1)^2 - 2(-1) - 3 &= 0 \\ 1 + 2 - 3 &= 0 \\ 0 &= 0 \quad \checkmark \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \text{اگر } x &= \underline{\hspace{1cm}} \\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \\ \underline{\hspace{1cm}} - \underline{\hspace{1cm}} - 3 &= 0 \\ \underline{\hspace{1cm}} &= 0 \quad \square \end{aligned}$$
آیا هر دو جواب این معادله می‌تواند طول اضلاع مثلث قائم‌الزاویه‌ای باشند که قبلاً درباره‌ی آن بحث شده است؟ توضیح دهید.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 71 ریاضی دهم - بخش ۲
این بخش به **یافتن ریشه‌های معادله** با استفاده از **ویژگی حاصل‌ضرب صفر** و بررسی **پذیرش جواب‌ها** در یک مسئله‌ی هندسی می‌پردازد.
### **گام ۱: پیدا کردن جواب‌های معادله**
معادله‌ی تجزیه‌شده‌ی ما این بود: $$(x + 1)(x - 3) = 0$$
بر اساس ویژگی حاصل‌ضرب صفر، هر یک از عامل‌ها را برابر صفر قرار می‌دهیم:
1. $$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$$
2. $$x - 3 = 0 \Rightarrow x = \mathbf{3}$$
**پاسخ جاهای خالی (حل معادله):**
$$x = -1 \quad \text{یا} \quad x - \mathbf{3} = 0 \Rightarrow x = \mathbf{-1} \quad \text{یا} \quad x = \mathbf{3}$$
### **گام ۲: آزمایش جواب دوم ($x=3$)**
جواب $x=3$ را در معادله‌ی اصلی $x^2 - 2x - 3 = 0$ جایگزین می‌کنیم:
$$\begin{aligned} \text{اگر } x &= \mathbf{3} \\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \\ (\mathbf{3})^2 - 2(\mathbf{3}) - 3 &= 0 \\ 9 - 6 - 3 &= 0 \\ \mathbf{0} &= 0 \quad \checkmark \end{aligned}$$
**نتیجه‌ی آزمایش:** جواب $x=3$ نیز صحیح است.
### **گام ۳: بحث در مورد کاربرد هندسی جواب‌ها**
**سوال:** آیا هر دو جواب ($x=-1$ و $x=3$) این معادله می‌تواند طول اضلاع مثلث قائم‌الزاویه‌ای باشند؟
**توضیح:** طول اضلاع یک شکل هندسی (مانند مثلث) باید همواره یک **عدد مثبت** باشد.
* جواب $x=3$ یک عدد مثبت است و می‌تواند طول ضلع مثلث باشد.
* جواب $x=-1$ یک عدد **منفی** است و از نظر فیزیکی نمی‌تواند طول ضلع باشد.
**پاسخ نهایی:** \mathbf{خیر.} فقط جواب $\mathbf{x = 3}$ می‌تواند طول ضلع مثلث قائم‌الزاویه باشد. زیرا طول (مانند فاصله یا ضلع) باید یک کمیت \mathbf{مثبت} باشد، در حالی که $\mathbf{x = -1}$ یک عدد منفی است و در مسائل هندسی و فیزیکی غیرقابل قبول است.
